题目

已知函数 ． （1） 对任意 恒成立，求实数 的取值范围： （2） 函数 ，设函数 ，若函数 有且只有两个零点，求实数 的取值范围． 答案： 解： f（x）=x2−3|x| 的定义域为R， f（-x）=(−x)2−3|−x|=(x)2−3|x|=f(x) ， 故函数 y=f(x) 关于y轴对称， 当 x>0 时， f（x）=x2−3x ， 当 x=32 时， f(x)min=f(32)=−94 ， 对任意 x∈R,f(x)−m≥0 恒成立，即有 m≤f(x)min ， 故实数 m 的取值范围为 （−∞，−94） 解：显然 x=1 不是函数 F(x)=f(x)−g(x) 的零点． 故函数 F(x)=f(x)−g(x) 有且只有两个零点． ⇔y=k 与 h(x)=x2−3|x|x−1 的图象有两个交点． 当 BC⇀=λAP⇀ 时， h(x)=x2−3|x|x−1=x2−3xx−1 ， h′(x)=(x2−3xx−1)′=(2x−3)(x−1)−(x2−3x)(x−1)2=x2−2x+3(x−1)2>0 恒成立， 故函数 y=h(x) 在 BH⊂ 单调递增，在 (1,+∞) 单调递增， 且当 |AB|=(1+k2)[(x1+x2)2−4x1x2] 时， x→1 时，函数 h(x)→+∞ ， 当 x∈(1,+∞) 时， x→1 时，函数 h(x)→−∞ ， x→+∞ 时，函数 h(x)→+∞ ， 当 x<0 时， h(x)=x2−3|x|x−1=x2+3xx−1 ， h′(x)=(x2+3xx−1)′=(2x+3)(x−1)−(x2+3x)(x−1)2=x2−2x−3(x−1)2=(x−3)(x+1)(x−1)2 令 h′(x)=0 ，因为 x<0 ，故解得 x=−1 ， 当 7mgS 时， h′(x)>0 ，故在 (−∞,−1) 单调递增， 当 x∈(−1,0) 时， h′(x)<0 ，故在 (−1,0) 单调递减， 函数 y=h(x) 的图像如图所示， 根据图象可得，实数 k 的取值范围为 （−∞，0）∪（1，+∞）

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