题目

已知函数f（x）=ex-x-1（e是自然对数的底数）． （1）求证：ex≥x+1； （2）若不等式f（x）＞ax-1在x∈[，2]上恒成立，求正数a的取值范围． 答案：详解】（1）由题意知，要证，只需证， 求导得，当时，， 当时，， ∴f（x）在是增函数，在时是减函数， 即在时取最小值， ∴，即， ∴． （2）不等式在上恒成立，即在上恒成立， 亦即在x∈[，2]上恒成立，令g（x）=，， 以下求在上的最小值， ,当时，， 当]时，， ∴当]时，单调递减，当]时，单调递增， ∴在处取得最小值为， ∴正数a的取值范围是． 【点睛】本题考查不等式的证明，考查正数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．

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