题目

抛物线y=﹣x2平移后的位置如图所示，点A，B坐标分别为（﹣1，0）、（3，0），设平移后的抛物线与y轴交于点C，其顶点为D． （1） 求平移后的抛物线的解析式和点D的坐标； （2） ∠ACB和∠ABD是否相等？请证明你的结论； （3） 点P在平移后的抛物线的对称轴上，且△CDP与△ABC相似，求点P的坐标． 答案： 解：∵将抛物线y=﹣x2平移，平移后的抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），∴平移后的抛物线的表达式为y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+2x+3，即y=﹣x2+2x+3，∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴顶点D的坐标为（1，4）； 解：∠ACB与∠ABD相等，理由如下：如图，∵y=﹣x2+2x+3，∴点x=0时，y=3，即C点坐标为（0，3），又∵B（3，0），∠BOC=90°，∴OB=OC，∠OBC=∠OCB=45°．在△BCD中，∵BC2=32+32=18，CD2=12+12=2，BD2=22+42=20，∴BC2+CD2=BD2，∴∠BCD=90°，∴tan∠CBD= CDBC=218=13 ，∵在△AOC中，∠AOC=90°，∴tan∠ACO= OAOC = 13 ，∴tan∠ACO=tan∠CBD，∴∠ACO=∠CBD，∴∠ACO+∠OCB=∠CBD+∠OBC，即∠ACB=∠ABD； 解：∵点P在平移后的抛物线的对称轴上，而y=﹣x2+2x+3的对称轴为x=1，∴可设P点的坐标为（1，n）．∵△ABC是锐角三角形，∴当△CDP与△ABC相似时，△CDP也是锐角三角形，∴n＜4，即点P只能在点D的下方，又∵∠CDP=∠ABC=45°，∴D与B是对应点，分两种情况：①  如果△CDP∽△ABC，那么 CDAB=DPBC ，即 24=4−n32 ，解得n= 52 ，∴P点的坐标为（1， 52 ）；②  如果△CDP∽△CBA，那么 CDCB=DPAB ，即 232=4−n4 ，解得n= 83 ，∴P点的坐标为（1， 83 ）．综上可知P点的坐标为（1， 52 ）或（1， 83 ）．

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