题目

设函数f（x）=x3+ax2+bx+c． （1） 求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程； （2） 设a=b=4，若函数f（x）有三个不同零点，求c的取值范围； （3） 求证：a2﹣3b＞0是f（x）有三个不同零点的必要而不充分条件． 答案： 解：函数f（x）=x3+ax2+bx+c的导数为f′（x）=3x2+2ax+b，可得y=f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为k=f′（0）=b，切点为（0，c），可得切线的方程为y=bx+c 解：设a=b=4，即有f（x）=x3+4x2+4x+c，由f（x）=0，可得﹣c=x3+4x2+4x，由g（x）=x3+4x2+4x的导数g′（x）=3x2+8x+4=（x+2）（3x+2），当x＞﹣ 23 或x＜﹣2时，g′（x）＞0，g（x）递增；当﹣2＜x＜﹣ 23 时，g′（x）＜0，g（x）递减．即有g（x）在x=﹣2处取得极大值，且为0；g（x）在x=﹣ 23 处取得极小值，且为﹣ 3227 ．由函数f（x）有三个不同零点，可得﹣ 3227 ＜﹣c＜0，解得0＜c＜ 3227 ，则c的取值范围是（0， 3227 ） 证明：若f（x）有三个不同零点，令f（x）=0，可得f（x）的图象与x轴有三个不同的交点．即有f（x）有3个单调区间，即为导数f′（x）=3x2+2ax+b的图象与x轴有两个交点，可得△＞0，即4a2﹣12b＞0，即为a2﹣3b＞0；若a2﹣3b＞0，即有导数f′（x）=3x2+2ax+b的图象与x轴有两个交点，当c=0，a=b=4时，满足a2﹣3b＞0，即有f（x）=x（x+2）2，图象与x轴交于（0，0），（﹣2，0），则f（x）的零点为2个．故a2﹣3b＞0是f（x）有三个不同零点的必要而不充分条件．

查看本题答案和解析