题目

如图，矩形OABC的两边在坐标轴上，点A的坐标为（10，0），抛物线y=ax2+bx+4过点B，C两点，且与x轴的一个交点为D（﹣2，0），点P是线段CB上的动点，设CP=t（0＜t＜10）． （1） 请直接写出B、C两点的坐标及抛物线的解析式； （2） 过点P作PE⊥BC，交抛物线于点E，连接BE，当t为何值时，∠PBE=∠OCD？ （3） 点Q是x轴上的动点，过点P作PM∥BQ，交CQ于点M，作PN∥CQ，交BQ于点N，当四边形PMQN为正方形时，请求出t的值． 答案： 解：在y=ax2+bx+4中，令x=0可得y=4，∴C（0，4），∵四边形OABC为矩形，且A（10，0），∴B（10，4），把B、D坐标代入抛物线解析式可得 {100a+10b+4=44a−2b+4=0 ，解得 {a=−16b=53 ，∴抛物线解析式为y=﹣ 16 x2+ 53 x+4； 解：由题意可设P（t，4），则E（t，﹣ 16 t2+ 53 t+4），∴PB=10﹣t，PE=﹣ 16 t2+ 53 t+4﹣4=﹣ 16 t2+ 53 t，∵∠BPE=∠COD=90°，∠PBE=∠OCD，∴△PBE∽△OCD，∴ BPCO = PEOD ，即BP•OD=CO•PE，∴2（10﹣t）=4（﹣ 16 t2+ 53 t），解得t=3或t=10（不合题意，舍去），∴当t=3时，∠PBE=∠OCD； 解：当四边形PMQN为正方形时，则∠PMC=∠PNB=∠CQB=90°，PM=PN，∴∠CQO+∠AQB=90°，∵∠CQO+∠OCQ=90°，∴∠OCQ=∠AQB，∴Rt△COQ∽Rt△QAB，∴ COAQ = OQAB ，即OQ•AQ=CO•AB，设OQ=m，则AQ=10﹣m，∴m（10﹣m）=4×4，解得m=2或m=8，①当m=2时，CQ= OC2+OQ2 =2 5 ，BQ= AQ2+AB2 =4 5 ，∴sin∠BCQ= BQBC = 255 ，sin∠CBQ= CQCB = 55 ，∴PM=PC•sin∠PCQ= 255 t，PN=PB•sin∠CBQ= 55 （10﹣t），∴ 255 t= 55 （10﹣t），解得t= 103 ，②当m=8时，同理可求得t= 203 ，∴当四边形PMQN为正方形时，t的值为 103 或 203 ．

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