题目

如图1， O经过等边△ABC的顶点A，C（圆心O在△ABC内），分别与AB，CB的延长线交于点D，E，连结DE，BF⊥EC交AE于点F. （1） 求证：BD=BE. （2） 当AF：EF=3:2，AC=6时，求AE的长。 （3） 设 =x,tan∠DAE=y. ①求y关于x的函数表达式； ②如图2，连结OF,OB，若△AEC的面积是△OFB面积的10倍，求y的值 答案： 证明：∵△ABC为等边三角形， ∴∠BAC=∠C=60 ∘ . ∵∠DEB=∠BAC=60 ∘ ,∠D=∠C=60 ∘ ∴∠DEB=∠D. ∴BD=BE 解：如图，过点A作AG⊥EC于点G. ∵△ABC为等边三角形，AC=6， ∴BG= 12 BC= 12 AC=3. ∴在Rt△ABG中，AG= 3 BG=3 3 . ∵BF⊥EC， ∴BF∥AG. AFEF=BGEB ∵AF:EF=3:2, ∴BE= 23 BG=2. ∴EG=BE+BG=3+2=5. ∴在Rt△AEG中，AE= AG3+EG2=(33)2+52=213 . 解：①如图，过点E作EH⊥AD于点H. ∵∠EBD=∠ABC=60°, ∴在Rt△BEH中， EHBE =sin60 ∘ = 32 . ∴ EH=32BE,BH=12BE ∴ BGEB=AFEF=x ∵BG=xBE. ∴AB=BC=2BG-2xBE. ∴AH-AB+BH=2xBE+ 12 BE=(2x+ 12 )BE. ∴在Rt△AHE中,tan ∠ = EHAH=32BE(2x+12)BE=34x+1 y= 34x+1 ②如图，过点O作OM⊥EC于点M. 设BE=a. ∵ BGEB=AFEF=x ∴CG=BG=xBE=x. ∴EC=CG+BG+BE=a+2ax. ∴AM= 12 EC= 12 a+ax. ∴BM=EM-BE=ax- 12 a ∵BF∥AG ∴△EBF∽△EGA. ∴ BFAG=BEEG=aa+ax=11+x ∵AG= 3 BG= 3 ax ∴BF= 11+x AG= 3ax1+x ∴△OFB的面积= BF⋅BM2=12×3axx+1(ax−12a) ∴△AEC的面积= EC⋅AG2=12×3ax(a+2ax) ∵△AEC的面积是△OFB的面积10倍 ∴ 12×3ax(a+2ax)=10×12×3axx+1(ax−12a) ∴ 2x2−7x+6=0 解得 x1=2,x2=32 ∴ y=39或37

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