题目

已知首项为 的等比数列 是递减数列，其前 项和为 ，且 成等差数列，数列 满足 . （1） 求数列 的通项公式； （2） 设数列 的前 项和为 ，证明： . 答案： 解：设等比数列 {an} 的公比为 q ，所以 an=12qn−1 因为数列 {an} 单调递减，所以 0<q<1 因为 S1+a1 ， S3+a3，S2+a2 成等差数列，所以 S1+a1+S2+a2=2(S3+a3) 即 12+12+12(1−q2)1−q+12q=2(12(1−q3)1−q+12q2) 化简得 4q2=1 ，因为 0<q<1 ，所以 q=12 ， an=12n. 因为 nbn+1−(n+1)bn=n(n+1) ，即 bn+1n+1−bnn=1 ，所以数列 {bnn} 是以1为首项1为公差的等差数列，即 bnn=n ，所以 bn=n2 . 证明：因为 anbn=n2n ，所以 Tn=12+222+323+⋯+n2n ①，所以 12Tn=122+223+324+⋯+n2n+1 ②， 两式相减得 12Tn=12+122+123+⋯+12n−n2n+1=12[1−(12)n]1−12−n2n+1=1−(12)n−n2n+1 所以 Tn=2−n+22n<2 ，得证.

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