题目

函数 的定义域为 ，且对任意 ，有 ，且当 时， ，(Ⅰ)证明 是奇函数；(Ⅱ)证明 在 上是减函数；(III)若 , ，求 的取值范围. 答案：证明：(Ⅰ)由 f(x+y)=f(x)+f(y) ，令y=-x,得f[x+(−x)]=f(x)+f(−x)，∴f(x)+f(−x)=f(0).又f(0+0)=f(0)+f(0)，∴f(0)=0.从而有f(x)+f(−x)=0，∴f(−x)=−f(x).∴f(x)是奇函数.(Ⅱ)证明：任取 x1,x2∈R ，且 x1<x2 ，则 f(x1)−f(x2)=f(x1)−f[x1+(x2−x1)]=−f(x2−x1)由 x1<x2 ，∴ x2−x1>0 ∴ f(x2−x1) <0.∴ −f(x2−x1) >0，即 f(x1)>f(x2) ，从而f(x)在R上是减函数.(III)若 f(3)=−1 ，函数为奇函数得f(-3)=1,又5=5f(-3)=f(-15),所以 f(3x+2)+f(x−15)<5 =f(-15),由 f(x+y)=f(x)+f(y) 得f(4x-13)<f(-15),由函数单调递减得4x-13>-15,解得x>- 12 ,故 x 的取值范围为 (−12,+∞)

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