题目

已知函数 . （1） 当 时，求不等式 的解集； （2） 若 ，不等式 恒成立，求实数a的取值范围. 答案： 解：当 a=2 时，函数 f(x)=|2x−2|−|x+1|={x−3,x≥11−3x,−1<x<1−x+3,x≤−1 ， 当 x≥1 时，由 f(x)<1 ，可得 x−3<1 ，解得 1≤x<4 ； 当 −1<x<1 时，由 f(x)<1 ，可得 1−3x<1 ，解得 0<x<1 ； 当 x<−1 时，由 f(x)<1 ，可得 3−x<1 ，此时解集为空集， 综上所述：不等式 f(x)<1 的解集为 (0,4) 解：若 a>0 ，函数 f(x)={x−a−1,x≥a2a−1−3x,−1<x<a2a+1−x,x≤−1 由一次函数性质可知 f(x) 在 (−∞,a2) 为减函数，在 (a2，+∞) 为增函数， 所以 fmin=f(a2)=−a2−1 ， 因为不等式 f(x)+2>0 恒成立，即 fmin>−2 ，即 −a2−1>−2 ，解得 a<2 又因为 a>0 ，所以 a∈(0,2) ，即实数a的取值范围 (0,2)

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