题目

如图1，O为直线AB上一点，过点O作射线OC ， ∠AOC＝30°，将一直角三角板（∠D＝30°）的直角顶点放在点O处，一边OE在射线OA上，另一边OD与OC都在直线AB的上方． （1） 将图1中的三角板绕点O以每秒5°的速度沿顺时针方向旋转一周，如图2，经过t秒后，OD恰好平分∠BOC ． 此时t的值为；（直接填空） （2） 此时OE是否平分∠AOC？请说明理由； （3） 在（1）问的基础上，若三角板在转动的同时，射线OC也绕O点以每秒8°的速度沿顺时针方向旋转一周，如图3，那么经过多长时间OC平分∠DOE？请说明理由； （4） 在（3）问的基础上，经过多长时间OC平分∠DOB？请画图并说明理由． 答案： 【1】解：3 是，理由如下： ∵转动3秒，∴∠AOE＝15°， ∴∠COE＝∠AOC﹣∠AOE＝15°， ∴∠COE＝∠AOE， 即OE平分∠AOC． 解：三角板旋转一周所需的时间为＝ 3605 ＝72（秒），射线OC绕O点旋转一周所需的时间为 3608 ＝45（秒）， 设经过x秒时，OC平分∠DOE， 由题意：①8x﹣5x＝45﹣30， 解得：x＝5， ②8x﹣5x＝360﹣30+45， 解得：x＝125＞45，不合题意， ③∵射线OC绕O点旋转一周所需的时间为 3608 ＝45（秒），45秒后停止运动， ∴OE旋转345°时，OC平分∠DOE， ∴t＝ 3455 ＝69（秒）， 综上所述，t＝5秒或69秒时，OC平分∠DOE． 解：如图3中，由题意可知， OD旋转到与OB重合时，需要90÷5＝18（秒），OC旋转到与OB重合时，需要（180﹣30）÷8＝ 1834 （秒）， 所以OD比OC早与OB重合， 设经过x秒时，OC平分∠DOB， 由题意：8x﹣（180﹣30）＝ 12 （5x﹣90）， 解得：x＝ 21011 ， 所以经 21011 秒时，OC平分∠DOB．

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