题目

探究题 （1） 探究发现：下面是一道例题及其解答过程，请补充完整：如图①在等边△ABC内部，有一点P，若∠APB=150°．求证：AP2+BP2=CP2证明：将△APC绕A点逆时针旋转60°，得到△AP′B，连接PP′，则△APP′为等边三角形∴∠APP′=60°   PA=PP′PC=∵∠APB=150°∴∠BPP′=90°∴P′P2+BP2=即PA2+PB2=PC2 （2） 类比延伸：如图②在等腰三角形ABC中，∠BAC=90°，内部有一点P，若∠APB=135°，试判断线段PA、PB、PC之间的数量关系，并证明． （3） 联想拓展：如图③在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC，点P在直线AB上方，且∠APB=60°，满足（kPA）2+PB2=PC2 ， 请直接写出k的值． 答案： 【1】P′B【2】P′B2 解：关系式为：2PA2+PB2=PC2证明如图②：将△APC绕A点逆时针旋转90°，得到△AP′B，连接PP′，则△APP′为等腰直角三角形∴∠APP′=45°PP′= 2 PA，PC=P′B，∵∠APB=135°∴∠BPP′=90°∴P′P2+BP2=P′B2，∴2PA2+PB2=PC2 解：k= 3 ．证明：如图③将△APC 绕A点顺时针旋转120°得到△AP′B，连接PP′，过点A作AH⊥PP′，可得∠APP′=30°PP′= 3 PA，PC=P′B，∵∠APB=60°，∴∠BPP′=90°，∴P′P2+BP2=P′B2，∴（ 3 PA）2+PB2=PC2∵（kPA）2+PB2=PC2，∴k= 3 ．

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