题目

已知圆 ． （1） 若直线l过点 且被圆C截得的弦长为 ，求直线l的方程； （2） 若直线l过点 与圆C相交于P ， Q两点，求 的面积的最大值． 答案： 解：圆C的圆心坐标为 C(3，4) ，半径 R=2 ， ∵直线l被圆C截得的弦长为 23 ， ∴圆心C到直线l的距离 d=22−(232)2=1 ． ①当直线l的斜率不存在时， 直线l的方程： x=2 ，显然满足 d=1 ； ②当直线l的斜率存在时， 设直线l的方程： y−3=k(x−2) ，即 kx−y+3−2k=0 ， 由圆心C到直线l的距离 d=1 得： |k−1|1+k2=1 ，解得 k=0 ， 故直线l的方程： y=3 ； 综上所述，直线l的方程为 x=2 或 y=3 ． 解： ∵ 直线与圆相交于P、Q两点， ∴l 的斜率一定存在且不为0， 设直线l方程： y=k(x−1) ，即 kx−y−k=0 ， 则圆心C到直线l的距离为 d=|2k−4|1+k2 ， 又 ∵△CPQ 的面积 S=12×d×24−d2 =d4−d2=d2(4−d2)=−(d2−2)2+4 ， ∴ 当 d=2 时，S取最大值2， 此时 d=|2k−4|1+k2=2 ，得 k=1 或 k=7 . 直线l方程为： x−y−1=0 或 7x−y−7=0

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