题目

已知在 中， ． 是 的弦， 交 于点 ，且 为 的中点，延长 交 于点 ，连接 ．   （1） 如图①，若 ，求 的大小； （2） 如图②，过点 作 的切线，交 的延长线于点 ．若 ，求 的大小． 答案： 连接 DE ． ∵BC⊥AB ，延长 CB 交 ⊙O 于点 E ， ∴∠ABE=90° ． ∴AE 为 ⊙O 的直径． ∴∠ADE=90° ． 又 D 为 AC 的中点， ∴DE 垂直平分 AC ． ∴AE=CE ． ∴∠AED=∠CED=12∠AEC=12×50°=25° ． ∴∠EAC=90°−∠AED=90°−25°=65° ． ∵EF 是 ⊙O 的切线， 又由(Ⅰ)得 AE 为 ⊙O 的直径， ∴EF⊥AE ． ∴∠AEF=90° ． ∵D 为 AC 的中点， ∴AC=2CD ． ∵CF=2CD ， ∴AC=CF ． ∴CE=12AF=AC ． 又由(Ⅰ)得 AE=CE ， ∴AE=CE=AC ． ∴△ACE 是等边三角形． ∴∠EAC=60° ． 又 BC⊥AB ， ∴∠CAB=12∠EAC=30°

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