题目

若在定义域内存在实数 ，使得 成立，则称函数有“飘移点” ． （1） 函数 在 上是否有“飘移点”？请说明理由； （2） 若函数 在 上有“飘移点”，求实数 的取值范围． 答案： 解：令 h(x)=f(x+1)−f(x)−f(1)=2(2x−1+x−1) ， 又 h(0)=−1,h(1)=2 ，∴ h(0)h(1)<0 ， 所以 h(x)=0 在 (0,1) 上至少有一实根 x0 ，即函数 f(x)=2x+x2 有“飘移点” 解：若 f(x)=lg(ax2+1) 在 (0,+∞) 上有飘移点 x0 ，由题意知 a>0 ， 即有 lga(x0+1)2+1=lg(ax02+1)+lga2 成立，即 a(x02+1)2+1=ax02+1⋅a2 ， 整理得 (2−a)x02−2ax0+2−2a=0 ，从而关于 x 的方程 g(x)=(2−a)x2−2ax+2−2a 在 (0,+∞) 上应有实根 x0 ， 当 a=2 时，方程的根为 x=−12 ，不符合题意， 当 0<a<2 时，由于函数 g(x) 的对称轴 x=a2−a>0 ， 可知，只需 Δ=4a2−4(2−a)(2−2a)≥0 ，∴ 3−5≤a≤3+5 ，即有 3−5≤a<2 ， 当 a>2 时，由于函数 g(x) 的对称轴 x=a2−a<0 ，只需 g(0)>0 即 2−2a>0 ，所以 a<1 ，无解． 综上， a 的取值范围是 3−5≤a<2

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