题目

如图，在四棱锥 中， 底面 ， ，M为线段 上一点， ，N为 的中点． （1） 证明： 平面 ； （2） 若平面 与平面 所成的锐二面角的正弦值为 ，求直线 与直线 所成角的余弦值． 答案： 证明：由已知 AM→=2MD→ 得 AM=2 ，取 BP 的中点T，连接 AT，TN ，由N为 PC 的中点知 TN//BC ， TN=12BC=2 ．又 AD//BC ，故 TN//AM ，且 TN=AM ， ∴四边形 AMNT 为平行四边形，∴ MN//AT ， ∵ AT⊂ 平面 PAB ， MN⊂ 平面 PAB ， ∴ MN// 平面 PAB ． 解：取 BC 的中点E，连接 AE ，由 AB=AC 知 AE⊥BC ，从而 AE⊥AD ， AE=AB2−BE2=5 ． 以A为坐标原点， AE→ 的方向为x轴的则正方向，建立如图所示的空间坐标系 A−xyz ． 设 P(0，0，h) ， 则 C(5，2，0)，M(0，2，0)，N(52，1，h2) ，所以 AM→=(0，2，0)，AN→=(52，1，h2) 设平面 AMN 的法向量为 n1→=(x，y，z) ， 则 {2y=052x+y+h2z=0 ，可取 n1→=(h，0，−5) ， 又平面 PAD 的法向量为 n2→=(1，0，0) 且平面 AMN 与平面 PAD 所成的锐二面角的正弦值为 53 ， ∴ cos<n→1，n→2>=|h1⋅h2+5|=23 ，解得 h=2 ． 所以 P(0，0，2) ， N(52，1，1) ，所以 AP→=(0，0，2)，MN→=(52，−1，1) ， 设直线 MN 与直线 PA 所成角为 θ ，则 cosθ=|AP→⋅MN→|AP→|⋅|MN→||=21313 ． 所以直线 MN 与直线 PA 所成角的余弦值为 21313 ．

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