题目

如图所示，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动，且点E、F不与点B、C、D重合。 （1） 证明：不论点E、F在边BC、CD上如何滑动，总有BE=CF； （2） 当点E、F在边BC、CD上滑动时，四边形AECF的面积是否发生变化？如果不变，求出四边形AECF的面积；如果变化，请说明理由。 答案： 证明：如图，连接AC， ∵四边形ABCD为菱形，∠BAD=120°， ∴∠1+∠EAC=60°， ∵ △AEF为正三角形， ∴∠3+∠EAC=60°， ∴∠1=∠3， ∵∠BAD=120°， ∴∠ABC=60°， ∴△ABC和△ACD为等边三角形， ∴∠4=60°，AC=AB， ∴在△ABE和△ACF中， ∠1＝∠3AB＝AC∠ABC＝∠4， ∴△ABE≌△ACF（ASA）． ∴BE=CF； 解：四边形AECF的面积不变，理由如下： 由（1）得△ABE≌△ACF，则S△ABE=S△ACF， ∴S四边形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC，是定值， 作AH⊥BC于H点， ∵△ABC为等边三角形， ∴BC=AB=4，BH=12AB=12×4=2， ∴AH=AB2-BH2=42-22=23 ∴S四边形AECF=S△ABC=12BC·AH=12×4×23=43.  

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