题目

已知真命题：“函数y=f（x）的图象关于点P（a，b）成中心对称图形”的充要条件为“函数y=f（x+a）﹣b 是奇函数”． （1） 将函数g（x）=x3﹣3x2的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位，求此时图象对应的函数解析式，并利用题设中的真命题求函数g（x）图象对称中心的坐标； （2） 求函数h（x）=  图象对称中心的坐标； （3） 已知命题：“函数 y=f（x）的图象关于某直线成轴对称图象”的充要条件为“存在实数a和b，使得函数y=f（x+a）﹣b 是偶函数”．判断该命题的真假．如果是真命题，请给予证明；如果是假命题，请说明理由，并类比题设的真命题对它进行修改，使之成为真命题（不必证明）． 答案： 解：平移后图象对应的函数解析式为y=（x+1）3﹣3（x+1）2+2，整理得y=x3﹣3x， 由于函数y=x3﹣3x是奇函数，由题设真命题知，函数g（x）图象对称中心的坐标是（1，﹣2）． 解：设h（x）= log22x4−x  的对称中心为P（a，b）， 由题设知函数h（x+a）﹣b是奇函数．设f（x）=h（x+a）﹣b，则f（x）= log22(x+a)4−(x+a) ﹣b，即f（x）= log22x+2a4−x−a−b ．由不等式 2x+2a4−x−a>0 的解集关于原点对称，则﹣a+（4﹣a）=0，得a=2．此时f（x）= log22(x+a)4−(x+a) ﹣b，x∈（﹣2，2）．任取x∈（﹣2，2），由f（﹣x）+f（x）=0，得b=1，所以函数h（x）= log22x4−x  图象对称中心的坐标是（2，1）． 解：此命题是假命题． 举反例说明：函数f（x）=x的图象关于直线y=﹣x成轴对称图象，但是对任意实数a和b，函数y=f（x+a）﹣b，即y=x+a﹣b总不是偶函数．修改后的真命题：“函数y=f（x）的图象关于直线x=a成轴对称图象”的充要条件是“函数y=f（x+a）是偶函数”．

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