题目

如图，在海岛A上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站P，上午11时，测得一轮船在岛北偏东30°，俯角为30°的B处，到11时10分又测得该船在岛北偏西60°，俯角为60°的C处． （1） 求船的航行速度是每小时多少千米？ （2） 又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的D处，问此时船距岛A有多远？ 答案： 解：在Rt△PAB中，∠APB=60°，PA=1，∴AB= 3 ． 在Rt△PAC中，∠APC=30°，∴AC= 33 ．在△ACB中，∠CAB=30°+60°=90°，∴BC= AC2+AB2 = (33)2+(3)2 = 303 ．则船的航行速度为 303 ÷ 16 =2 30 （千米/时） 解：在△ACD、中，∠DAC=90°﹣60°=30°， sin∠DCA=sin（180°﹣∠ACB）=sin∠ACB= ABBC = 3303 = 310 10 ，sin∠CDA=sin（∠ACB﹣30°）=sin∠ACB•cos30°﹣cos∠ACB•sin30°= 310 10 • 32 ﹣ 12⋅1−(3103)2 = (33−1)1020 ．由正弦定理得 ADsin∠DCA = ACsin∠CDA ．∴AD= AC⋅sin∠DCAsin∠CDA = 33⋅31010(33−1)1020 = 9+313 ．故此时船距岛A有 9+313 千米

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