题目

如图（1），等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD，∠ABC=60°，E是BC的中点.如图（2），将△ABE沿AE折起，使二面角B-AE-C成直二面角，连结BC，BD，F是CD的中点，P是棱BC的中点.      （1）                               （2）(1)求证：AE⊥BD；(2)求证：平面PEF⊥平面AECD；(3)判断DE能否垂直于平面ABC?并说明理由. 答案：解:(1)证明：连结BD，取AE中点M，连结BM,DM.∵在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD，∠ABC=60°，E是BC的中点,∴△ABE与△ADE都是等边三角形.∴BM⊥AE,DM⊥AE.∵BM∩DM=M,BM,DM平面BDM,∴AE⊥平面BDM.∵BD平面BDM,∴AE⊥BD.(2)证明：连结CM交EF于点N，连结PN.∵ME∥FC，且ME=FC,∴四边形MECF是平行四边形.∴N是线段CM的中点.∵P是线段BC的中点,∴PN∥BM.∵BM⊥平面AECD,∴PN⊥平面AECD.又∵PN平面PEF,∴平面PEF⊥平面AECD.(3)DE与平面ABC不垂直.证明：假设DE⊥平面ABC，则DE⊥AB.∴BM⊥平面AECD.∴BM⊥DE.∵AB∩BM=B，AB,BM平面ABE,∴DE⊥平面ABE.∴DE⊥AE，这与∠AED=60°矛盾.∴DE与平面ABC不垂直.

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