题目

已知函数f（x）=2cos（ ﹣x）sinx+（sinx+cosx）2 ． （1） 求函数f（x）的单调递增区间； （2） 把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移 个单位，得到函数y=g（x）的图象，求 的值． 答案： 解：函数f（x）=2cos（ π2 ﹣x）sinx+（sinx+cosx）2． 化简得：f（x）=2sinx•sinx+1+2sinxcosx=2sin2x+sin2x+1=2（ 12−12 cos2x）+sin2x+1= 2 sin（2x﹣ π4 ）+2由正弦函数的图象及性质．可得：2x﹣ π4 ∈[ 2πk−π2 ， 2kπ+π2 ]是单调增区间，即 2πk−π2 ≤2x﹣ π4 ≤ 2kπ+π2 ，k∈Z．解得： kπ−π8 ≤x≤ kπ+3π8 ，所以：函数f（x）的单调递增区间是[ kπ−π8 ， kπ+3π8 ]，（k∈Z） 解：由（1）可得f（x）= 2 sin（2x﹣ π4 ）+2，把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到y= 2 sin（x﹣ π4 ）+2的图象，再把得到的图象向左平移 π3 个单位，得到g（x）= 2 sin（x+ π12 ）+2的图象． ∴ g(π6) = 2 sin（ π6+π12 ）+2= 2 sin π4 +2=3所以 g(π6) 的值为：3

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