题目

如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y=kx﹣ （1+k2）x2（k＞0）表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标． （1） 求炮的最大射程； （2） 设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由． 答案： 解：在 y=kx﹣ 120 （1+k2）x2（k＞0）中，令y=0，得 kx﹣ 120 （1+k2）x2=0． 由实际意义和题设条件知x＞0，k＞0．∴ x=20k1+k2=201k+k≤202=10 ，当且仅当k=1时取等号．∴炮的最大射程是10千米． 解：∵a＞0，∴炮弹可以击中目标等价于存在 k＞0，使ka﹣ 120 （1+k2）a2=3.2成立， 即关于k的方程a2k2﹣20ak+a2+64=0有正根．由韦达定理满足两根之和大于0，两根之积大于0，故只需△=400a2﹣4a2（a2+64）≥0得a≤6．此时，k= 20a±Δ2a2 ＞0．∴当a不超过6千米时，炮弹可以击中目标

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