题目

已知复数|z|=2,求复数1++z的模的最大值、最小值. 答案：思路解析:(1)可以由复数的几何意义采用数形结合的方法来解,(2)通过不等式||z1|-|z2||≤|z1+z2|≤|z1|+|z2|,其中第一个等号成立的条件是复数z1、z2对应的向量反向共线,第二个等号成立的条件是复数z1、z2对应的向量同向共线.解法一:由已知,复数z对应的点Z在复平面内以原点为圆心,半径为2的圆上.设ω=1++z,z=ω-1-,∴|z|=|ω-(1+)|=2.∴复数ω对应的点在复平面内以(1,)为圆心,半径为2的圆上.此时圆上的点A,对应的复数ωA的模有最大值,圆上的点B,对应的复数ωB的模有最小值.如图,故|1++z|max=4,|1++z|min=0.解法二:利用公式||z1|-|z2||≤|z1+z2|≤|z1|+|z2|.∵|z|=2,∴||z|-|1+||≤|z+1+|≤|z|+|1+|,0≤|z+1+|≤2+2.∴|1++z|max=4,|1++z|min=0.

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