题目

定义：若一个圆内接四边形的两条对角线互相垂直，则称这个四边形为圆美四边形. （1）选择：下列四边形中，一定是圆美四边形的是（） A . 平行四边形 B . 矩形 C . 菱形 D . 正方形（2）如图1，在等腰中，，，经过点的交边于点，交于点，连接，若四边形为圆美四边形，求的长；（3）如图2，是外接圆的直径，交于点，点在上，延长交于点，已知.问四边形是圆美四边形吗？为什么？答案： D 解：连接AE，BD，∵等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，∴BD是⊙O的直径，∠BED=∠BAD =90°，∵AC=AB=1，∴BC=AB2+AC2=2，∠C=12(180°−∠BAC)=45°，∵四边形ABED为圆美四边形，∴BD⊥AE， ∴AD⌢=ED⌢，∴AD=ED，∵BD=BD，∴Rt△ABD≌Rt△EBD（HL），∴BE=AB=1， ∴CE=BC-BE= 2−1，∵∠CED=180°-∠BED=90°，∴∠CDE=90°−∠C=45°，∴DE=CE=2−1；解：四边形ABFC是圆美四边形，理由：连接BD，AF，设AF与BC交点为G，则∠ACB=∠ADB，∠CAF=∠CBF，∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD=90°，∴∠BAD+∠ADB=90°，∵PB2=PE⋅PA，∴PBPA=PEPB，∵∠APB=∠BPE，∴△APB∽△BPE，∴∠BAD=∠CBF，∴∠CAF=∠BAD，∴∠ACB+∠CAF=∠ADB+∠BAD=90°，∴∠AGC=180-（∠ACB+∠CAF）=90°，∴AF⊥BC，∴四边形ABFC是圆美四边形.

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