题目

已知 ，函数 是偶函数， （1） 求 的值； （2） 求不等式 的解集； （3） 若函数 在 内存在唯一的零点，求实数 的取值范围. 答案： 解：因为函数 f(x)=log2(4x+1)+kx 是偶函数， 所以 f(−x)=f(x) 对于任意的 x∈R 成立， 即 log2(4−x+1)−kx=log2(4x+1)+kx 恒成立， 化简得 log2(1+4x)−2x−kx=log2(4x+1)+kx ， 即 −(2+k)x=kx 恒成立， k=−1 解：不等式 f(x)>log232x+1 可化为 log2(4x+1)−x>log232x+1 ， 即 log24x+12x>log232x+1 ， 结合对数函数的单调性可得 4x+12x>32x+1 ， 化简得 4x>12 ，故原不等式的解集为 {x|x>−12} 解：因为 x∈(log243,+∞) ，故 2x−43>0 . 则由 a⋅2x−43a>0 ，可得 a>0 ， 由 g(x)=f(x)−log2(a⋅2x−43a) 在 (log243,+∞) 内存在唯一的零点， 可得方程 4x+12x=a⋅2x−43a 在 (log243,+∞) 内存在唯一解， 设 t=2x ，则 t>43 ， 问题等价于关于 t 的方程 (a−1)t2−43at−1=0 在区间 (43,+∞) 内存在唯一解， 当 a=1 时，由 −43t−1=0 ， t=−34∉(43,+∞) ，不合题意，舍去； 当 a≠1 时，记 h(x)=(a−1)t2−43at−1 ， 若 0<a<1 ， h(x) 的图像开口向下，对称轴 x=2a3(a−1)<0 ， 故 h(x) 在 (43,+∞) 上单调递减， 结合 h(0)=−1 ，知 h(x) 在 (43,+∞) 内不存在零点； 若 a>1 ， h(x) 的图像开口向上，结合 h(0)=−1 ， h(49)=−259 ， 知 h(x) 在 (43,+∞) 内存在唯一的零点； 综上所述，实数 a 的取值范围是 a>1

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