题目

如图，在三菱柱ABC- 中， 平面ABC。 D，E，F，G分别为 ，AC， ， 的中点，AB=BC= ，AC= =2。（Ⅰ）求证：AC⊥平面BEF：（Ⅱ）求二面角B-CD- 1的余弦值：（Ⅲ）证明：直线FG与平面BCD相交。 答案：解：（Ⅰ）∵AC=BC，又E是AC的中点，∴ AC⊥BE ，又CC1 ⊥ 面ABC，EF ∥ CC1，∴EF ⊥ 面ABC，又AC ⊂ 面ABC，∴EF ⊥ AC.又 BE∩EF=E ，所以AC ⊥ 面BEF.（Ⅱ）过E作EH ⊥ CD于H，连接BH∵EH ⊥ CD，BE ⊥ AC，BE ⊥ EF，∴BE ⊥ 面ACC1A1，CD ⊂ 面ACC1A1，∴CD ⊥ BE，由二面角定义可知， ∠BHE 为二面角B-CD-C1的平面角的补角，BE=2，EH= 12 ⋅25=55 ，∴BH= 215∴cos ∠BHE = EHBH=55215=2121 ，而二面角B-CD-C1的余弦值为 −2121 ，（Ⅲ）假设FG与面BCD不相交，则FG ∥ 与面BCD，∵EF ∩ CD=Q，连接BQ，又∵面EFGB ∩ 面DCB=BQ.∵FG ∥ BH，又BG ∥ EF，∴四边形BGEF为平行四边形与 |BG|≠|FQ| 矛盾。所以假设不成立，故FG与面BCD相交。

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