题目

已知有限数列共M项 ， 其任意连续三项均为某等腰三角形的三边长，且这些等腰三角形两两均不全等.将数列的各项和记为 ． （1） 若 ， 直接写出的值； （2） 若 ， 求的最大值； （3） 若 ， 求的最小值 答案： 解：M=4，S=7 解：①构造数列：1，2，2，2，3，3，3，1，此时M=8.②当存在连续三项为1，1，1时，本题中有两条边为1，1的等腰三角形仅有1，1，1，即数列只有3项，与M≥4矛盾，舍去.③当不存在连续三项为1，1，1时，连续三项（不考虑这三项的顺序）共以下6种可能：1，2，2；1，3，3；2，2，2；2，2，3；2，3，3；3，3，3.又相邻的4项组成的2个等腰三角形中间2项是共用的，则总的项数为不同的等腰三角形的个数加上首尾2项，所以M≤6+2=8.④由①②③，M的最大值为8. 解：①构造数列：1，2，2，2，3，3，3，4，4，4，5，5，5，3，3，1，此时S=50.②设T为数列的每一组连续三项的和的和，则T=(a1+a2+a3)+(a2+a3+a4)+⋯+(a13+a14+a15)+(a14+a15+a16)=3(a1+a2+⋯+a15+a16)−2a1−a2−a15−2a16，即3S=T+2a1+2a16+a2+a15.③连续三项（不考虑这三项的顺序）及这三项的和（标注在下面的括号内）有以下可能：2，2，1(5)_；2，2，2(6)；2，2，3(7)；3，3，1(7)_；3，3，2(8)；3，3，3(9)；⋯；3，3，5(11)；4，4，1(9)_；4，4，2(10)_；4，4，3(11)；⋯；4，4，7(15)；5，5，1(11)_；5，5，2(12)_；5，5，3(13)；⋯；5，5，9(19)；6，6，1(13)_；6，6，2(14)_；6，6，3(15)_；⋯；6，6，11(23)；其中画横线的连续三项不能同时满足和前一项、后一项构成3个等腰三角形，故必为数列的首三项或尾三项，故其对应的三角形在14个三角形中至多出现两个.④由③，要使S最小，则使T和2a1+2a16+a2+a15最小，在画横线的连续三项中取和最小的2组，在没画横线的连续三项中取合最小的12组，同时令a1=1，a16=1，a2=2，a15=3，则T≥(5+7)+(6+7+8+9+10+11+11+12+13+13+14+14)=140，2a1+2a16+a2+a15≥2×1+2×1+2+3=9，又由②，3S≥140+9=149，所以S≥50.⑤由①④，S的最小值为50.

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