题目

已知 是椭圆 上的一点， 是椭圆的两个焦点. （1） 求椭圆的离心率； （2） 当 时，求 的面积； （3） 当 为钝角时，求点 横坐标的取值范围. 答案： 解：因为 a2=4,b2=1 ，所以 c=a2−b2=3 ， 所以离心率为 e=ca=32 . 解：由椭圆的定义得： |PF1|+|PF2|=4, --------① 且 F1(−3,0),F2(3,0) ， 在 ΔF1PF2 中，由余弦定理得： |F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2−2|PF1||PF2|cos60° -----------② 由①②得 |PF1||PF2|=43 ， 所以 SΔF1PF2=12|PF1||PF2|sin∠F1PF2=33 . 解：设点 P(x,y) ， F1(−3,0),F2(3,0) 所以 PF1→=(−3−x,−y), PF2→=(3−x,−y), 由已知 ∠F1PF2 为钝角，得 PF1→⋅PF2→<0 ， 所以 (−3−x)(3−x)+y2<0 ，--------③ 又由椭圆的方程得 y2=1−x24 ，-------------④ 联合③④得 34x2<2 ，解得 −263<x<263 所以点 P 的横坐标的取值范围是 (−263,263) .

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