题目

如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(0，2)，点P(t，0)在x轴上，B是线段PA的中点．将线段PB绕着点P顺时针方向旋转900 ， 得到线段PC，连结OB、BC． （1）判断PBC的形状，并简要说明理由； （2）当时，试问：以P、O、B、C为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求出相应的t 的值？若不能，请说明理由； （3）当t为何值时，AOP与APC相似？ 答案：解：（1）△PBC是等腰直角三角形. ∵线段PB绕着点P顺时针方向旋转90°，得到线段PC ∴PB=PC，∠BPC=90°， ∴△PBC是等腰直角三角形. （2）当OB⊥BP时，以P、O、B、C为顶点的四边形为平行四边形． ∵∠OBP=∠BPC=90° ∴OB∥PC， ∵B是PA的中点 ∴OB=12AP=BP=PC ∴四边形POBC是平行四边形 当OB⊥BP时，有OP=2OB即OP2=2OB2 ∴t2=214t2+1 ∴t1=2，t2=-2（不合题意） ∴当t=2时，以P、O、B、C为顶点的四边形为平行四边形． （3）由题意可知，∠AOP=∠APC=90°， 当OPOA=PCPA=12时，△AOP∼△APC，此时OP=12OA=1 ∴ 当OAOP=PCPA=12时，△AOP∼△CPA，此时OP=2OA=4 ∴t=±4 ∴当t=±1或±4时，△AOP与△APC相似

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