题目

已知函数 ， ， . （1） 求 ； （2） 求 在 的单调递增区间； （3） 若 ， ，求 的最大值. （注： ） 答案： 解： 2sinπ6=1 ， 23cosπ6=3 ，因为 3>1 ， 所以 g(π6)=max{2sinπ6,23cosπ6}=max{1,3}=3 ， 解：在 [−2π3,4π3) ，解 2sinx=23cosx ，得 tanx=3 ，得 x=π3 或 x=−2π3 ， 当 x∈[−2π3,π3) 时， 2sinx≤23cosx ，所以 g(x)=23cosx ， 当 x∈[π3,4π3) 时， 2sinx>23cosx ，所以 g(x)=2sinx ， 所以当 x∈[−2π3,π3) 时， F(x)=f(x)−g(x)=3sinx+3cosx−23cosx =3sinx−3cosx=23sin(x−π6) ， 令 −π2+2kπ≤x−π6≤π2+2kπ ， (k∈Z) ， 解得 ： −π3+2kπ≤x≤2π3+2kπ ， (k∈Z) ， 因为 x∈[−2π3,π3) ，令 k=0 ，得 −π3≤x≤π3 . 当 x∈[π3,4π3) 时， F(x)=f(x)−g(x)=3sinx+3cosx−2sinx =sinx+3cosx=2sin(x+π3) ， 令 −π2+2kπ≤x+π3≤π2+2kπ ， (k∈Z) ， 得： −5π6+2kπ≤x≤π6+2kπ ， (k∈Z) ， 因为 x∈[π3,4π3) ，令 k=1 ，得 7π6≤x≤4π3 . 所以 F(x) 在 [−2π3,4π3) 的单调递增区间为 [−π3,π3] 和 [7π6,4π3] . 解：由（2）知当 x∈[−2π3,π3) 时， F(x)=23sin(x−π6) ， 令 F(x)=−3 ，即 sin(x−π6)=−12 ，即得 x=−2π3 或 x=0 ， 所以 x∈[−2π3,0) 时， F(x)≤−3 ， 当 x∈[π3,4π3) 时， F(x)=2sin(x+π3) ， x2−x1 的最大值为 π . 令 F(x)=−3 ，即 sin(x+π3)=−32 ，解得 x=π 或 x=−4π3 （舍）， 所以 x∈[π,4π3) 时， F(x)≤−3 ， 因为 F(x) 周期为 2π ，所以当 x∈[π+2kπ,2π+2kπ] (k∈Z) 时， F(x)≤−3 恒成立， 所以必有 [x1,x2]⊆[π+2kπ,2π+2kπ] ，故得 x2−x1 的最大值为 π .

查看本题答案和解析