题目

如图（1），抛物线 与x轴交于A（−1，0）、B（t，0）（t >0）两点，与y轴交于点C（0，−3），若抛物线的对称轴为直线x=1， （1） 求抛物线的函数解析式； （2） 若点D是抛物线BC段上的动点，且点D到直线BC的距离为 ，求点D的坐标 （3） 如图（2），若直线y=mx+n经过点A，交y轴于点E（0，−1），点P是直线AE下方抛物线上一点，过点P作x轴的垂线交直线AE于点M，点N在线段AM延长线上，且PM=PN，是否存在点P，使△PMN的周长有最大值？若存在，求出点P的坐标及△PMN的周长的最大值；若不存在，请说明理由． 答案： 解：∵抛物线的对称轴为直线x=1，则点A（−1，0）关于直线x=1的对称点B的坐标为（3，0），设抛物线的表达式为y=a（x−3）（x+1），将点C（0，−3）代入上式得−3a=-3，解得：a=1，∴抛物线的解析式为y=（x−3）（x+1）=x2−2x−3 解：∵点B（3，0）、C（0，-3），则BC=3 2 ，∴S△BCD== 12×32×2 =3，设D（x，x2−2x−3），连接OD，∴S△BCD=S△OCD+S△BOD−S△BOC= 12 •3•x+ 12 •3•（−x2+2x+3）− 12 ×3×3= −3x2+9x2 =3解得x=1或x=2则点D的坐标为（1，−4）或（2，−3） 解：设直线AE解析式为 y=mx+n ，将点A（−1，0）、E（0，−1）代入，得{−m+n=0n=−1 解得： {m=−1n=−1 则直线AE解析式为 y=−x−1∵OA=OE=1，则∠OAE=∠OEA=45°，又∵PM∥y轴，∴∠PMN=∠CEN=∠AEO=45°∵PM=PN∴∠PMN=∠PNM =45°∴ PM=PN，MN=2PM∴ CΔPMN=(2+2)PM设M（k，−k−1），P（k， k2−2k−3 ）∴PM= −k2+k+2 = −(k−12)2+94∴当k= 12 时，PM的长有最大值为 94∴P点坐标为（ 12 ， −154 ），△PMN的周长的最大值为 92+184

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