题目

在Rt△ABC中，点D为斜边AB的中点，P为AC边一动点，△BDP沿着PD所在的直线对折，点B的对应点为E． （1）若BC=5，AC=12，PD⊥AB，求AP的长； （2）当AD=PE时，求证：四边形BDEP为菱形； （3）若BC=5，∠A=30°，P点从C点运动到A点，在这个过程中，求E点所经过的路径长． 答案：【考点】四边形综合题． 【分析】（1）根据勾股定理求出AB，根据相似三角形的判定定理证明△ADP∽△ACB，根据相似三角形的性质得到比例式，计算即可； （2）根据四条边相等的四边形是菱形证明即可； （3）根据等边三角形的性质和平角的定义求出P点从C点运动到A点E点运动的圆心角，根据弧长公式计算即可． 【解答】（1）解：∵∠C=90°，BC=5，AC=12， ∴AB==13， ∵PD⊥AB，∠C=90°， ∴△ADP∽△ACB， ∴=，即=， 解得，AP=； （2）证明：由翻折变换的性质可知，PB=PE，DB=DE， ∵AD=PE，BD=AD， ∴BP=PE=ED=DB， ∴四边形BDEP为菱形； （3）∵BC=5，∠A=30°， ∴AB=2BC=10， ∴DE=BD=AB=5， 当P点与C点重合时，△BPD是等边三角形， ∴∠BDP=60°， ∴∠EDP=60°， ∴∠EDA=60°， 当P点与A点重合时，∠EDA=180°， ∴P点从C点运动到A点E点运动的圆心角为60°+180°=240°， =， ∴E点所经过的路径长为． 【点评】本题考查的是菱形的判定、弧长的计算、翻折变换的性质，掌握四条边相等的四边形是菱形、弧长的计算公式是解题的关键．

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