题目

如图， 为椭圆 的左顶点，过 的直线 交抛物线 于 、 两点， 是 的中点. （1） 求证：点 的横坐标是定值，并求出该定值； （2） 若直线 过 点，且倾斜角和直线 的倾斜角互补，交椭圆于 、 两点，求 的值，使得 的面积最大. 答案： A(−2，0) ，过 A 的直线 l 和抛物线交于两点，所以 l 的斜率存在且不为0，设 l ： x=my−2 ，其中 m 是斜率的倒数，设 B(x1，y1) 、 C(x2，y2) ，满足 {x=my−2y2=2px ，即 y2−2pmy+4p=0 ， Δ>0 且 {y1+y2=2pmy1y2=4p ，因为 C 是 AB 中点，所以 y1=2y2 ，所以 y2=2pm3 ， m2=92p ， 所以 x2=m⋅2pm3−2=2p3m2−2=1 ，即 C 点的横坐标为定值1. 直线 m 的倾斜角和直线 l 的倾斜角互补，所以 m 的斜率和 l 的斜率互为相反数.设直线 m 为 x=−m(y−2pm3)+1 ，即 x=−my+4 ， 联列方程 {x=−my+4x2+2y2−4=0 得 (m2+2)y2−8my+12=0 ， Δ=(8m)2−48(m2+2)=16m2−96>0 ，所以 m2>6 ；且 {y1+y2=8mm2+2y1y2=12m2+2 ， ∵点 C 是 AB 中点，∴ SΔBMN=SΔAMN ， 设 A(−2，0) 到 |MN| 的距离 d=|−2−4|1+m2 ， MN=1+m2|y1−y2| ， SΔAMN=12⋅|MN|⋅d=3|y1−y2|=3m2−6(m2+2)2 ，令 t=m2−6 ， SΔAMN=3tt2+16t+64=31t+64t+16 ≤312×8+16=342 当且仅当 t=8 ， m2=14 时取到， 所以 14=92p ， p=928 . 法二：因为 B 点在抛物线 y2=2px(p>0) 上，不妨设 B(t22p，t) ，又 C 是 AB 中点，则 C(t2−4p4p，t2) ，代入抛物线方程得： (t2)2=2p⋅t2−4p4p ，得： t2=8p ，∴ xC=8p−4p4p=1 为定值. （2）∵直线 l 的斜率 k=t2−01−(−2)=t6 ，直线 m 斜率 k'=−t6 ， ∴直线 m 的方程： y−t2=−t6(x−1) ，即 x=−6ty+4 ，令 m=6t 代入椭圆方程整理得： (m2+2)y2−8my+12=0 ，设 B(x1，y1) 、 C(x2，y2) ，下同法一.

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