题目

在中，，．（1）如图，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC．求证：① ； ② ．（2）如图，D为外一点，且，仍将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，ED，BD． ① 的结论是否仍然成立？并请你说明理由； ②若，，求AD的长．答案：解：①由旋转的性质得， ∠BAC=∠DAE=90∘ ，AE=AD， ∴ ∠BAC－∠DAC=∠DAE－∠DAC ，即 ∠BAD=∠CAE ．在 △BAD 和 △CAE 中， {AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE ∴ △BAD≌△CAE(SAS) ； ②由①知 △BAD≌△CAE ， ∴ BD=CE ， ∴ BC=DC+BD=DC+EC ．解：①结论仍然成立．理由：由旋转的性质得， ∠BAC=∠DAE=90∘ ，AE=AD， ∴ ∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD ，即 ∠BAD=∠CAE ，在 △BAD 与 △CAE 中， {AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE ∴ △BAD≌△CAE(SAS) ． ②由（2）①知 △BAD≌△CAE ， ∴ CE=BD=12 ． ∵线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE， ∴ AD=AE ， ∠DAE=90∘ ， ∴ ∠EDA=45∘ ． ∵ ∠ADC=45∘ ， ∴ ∠EDC=∠EAD+∠ADC=90∘ ． ∵在 Rt△ECD 中， CD=4 ， ∴ DE=CE2−CD2=82 ． ∵在 Rt△DAE 中，由勾股定理得： AD2+AE2=DE2 ， ∴ AD2+AD2=(82)2 ， ∴ AD=8 ．

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