题目

如图，在中， ， ， 点D在线段上． （1） 若 ， 求的长； （2） 若 ， 的面积为 ， 求的值． 答案： 解：因为3acosB−bcosC=ccosB，由正弦定理可得3sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin(B+C)=sin(π−A)=sinA，∵A∈(0，π)，则sinA>0，故cosB=13，则B为锐角，所以，sinB=1−cos2B=223，∵∠ADC=3π4，则∠ADB=π4，在△ABD中，由正弦定理得ADsinB=ABsin∠ADB，∴AD223=222，解得AD=83． 解：设CD=t，则BD=2t，∵S△ACD=423，则S△ABC=3S△ACD=42，即12×2×3t×223=42，可得t=2，故BC=3t=6，由余弦定理可得AC=AB2+BC2−2AB⋅BCcosB=4+36−2×2×6×13=42，在△ABD中，由正弦定理可得BDsin∠BAD=ABsin∠ADB，故sin∠BAD=2sin∠ADB，在△ACD中，由正弦定理可得CDsin∠CAD=ACsin∠ADC，故sin∠CAD=24sin∠ADC，因为sin∠ADB=sin(π−∠ADC)=sin∠ADC，所以，sin∠BADsin∠CAD=2sin∠ADB24sin∠ADC=42.

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