题目

如图所示，四边形ADEF为正方形，△ABC为等腰直角三角形，D在BC边上，连接CF． （1）求证：BC⊥CF； （2）若△ABC的面积为16，BD：DC=1：3，求正方形ADEF的面积； （3）当（2）的条件下，连接AE交DC于G，求的值． 答案：【考点】四边形综合题． 【分析】（1）由正方形的性质及等腰直角三角形的性质证明△ABD≌△ACF即可； （2）由三角形的面积可以求出AB、AC的值，由勾股定理就可以求出BC的值，就可以求出BD、CD的值，作DH⊥AB于点H，由勾股定理就可以求出BH=DH的值，进而得出AH的值，由勾股定理就可以求出AD2的值，即可得出结论； （3）设EF交BC于点M，设CM=x，则可以表示出MD，由勾股定理就可以得出FM的值，由△FCM∽△DEF就可以得出x的值，再由△AGD∽△EGM就可以得出GM的值，进而求出结论． 【解答】解：（1）∵四边形ADEF为正方形，△ABC为等腰直角三角形， ∴AD=AF=EF=DE，AB=AC，∠DAF=∠BAC=∠DEF=∠ADE=90°，∠B=∠ACB=45°，AD∥EF． ∴∠DAF﹣∠DAC=∠BAC﹣∠DAC， ∴∠DAB=∠FAC． 在△ABD和△ACF中， ， ∴△ABD≌△ACF（SAS）， ∴∠B=∠ACF，BD=CF， ∴∠ACF=45°， ∴∠ACF+∠ACB=90°， 即∠BCF=90°． ∴BC⊥CF；   （2）设AB=BC=x，由题意，得 =16， ∴x=4． ∴BC=8． ∵BD：DC=1：3， ∴BD=8×=2，CD=8﹣2=6． 作DH⊥AB于点H， ∴∠DHB=∠DHA=90°， ∴∠BDH=45°， ∴∠B=∠BDH， ∴BH=DH． 设BH=DH=a，由勾股定理，得 a=， ∴AH=4﹣=3． 在Rt△ADH中，由勾股定理，得 AD2=20． ∴AD=2． ∵S正方形ADEF=AD2， ∴正方形ADEF的面积为20；   （3）设EF交BC于点M，设CM=x，则DM=6﹣x． ∵BD=CF， ∴CF=2． 在Rt△CMF中，由勾股定理，得 FM=． ∵∠DEF=∠FCM=90°， ∠DME=∠FMC， ∴△FCM∽△DEF， ∴， ∴， ∴， 解得：x1=1，x2=﹣4（舍去） ∴CM=1，FM=， ∴ME=．DM=5 ∵AD∥EF． ∴△AGD∽△EGM， ∴， ∴=2， ∴DG=2GM， 设GM=b，DG=2b， ∴b+2b=5， ∴b=， ∴GC=， ∴DG=6﹣=． ∴=． 答：的值为． 【点评】本题考查了正方形的性质的运用，等腰直角三角形的性质的运用，勾股定理的运用，全等三角形的判定及性质的运用，垂直的判定及性质的运用，相似三角形的判定及性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答时证明三角形全等及相似是关键． 　

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