题目

已知F是椭圆E： 的右焦点，点 是椭圆上一点，且 轴. （1） 求椭圆E的方程； （2） 过F作直线l交E于A，B两点，且 的面积为 ， 为坐标原点.求直线l的斜率. 答案： 解：由题可知 {c=1b2a=32 ， 解得 a=2 ， c=1 ， b=3 ， 所以椭圆的方程为 x24+y23=1 . 设 l 的方程为 y=k(x−1) ， A(x1，y1) ， B(x2，y2) ， 联立方程组 {y=k(x−1)3x2+4y2=12 ，可得 (3+4k2)x2−8k2x+4k2−12=0 ， 则 x1+x2=8k23+4k2，x1x2=4k2−123+4k2 ， 所以 |AB|=1+k2(x1+x2)2−4x1x2=12(1+k2)3+4k2 ， O 到直线 l 的距离为 |k|1+k2 ，所以 △OAB 的面积 S=12×|k|1+k2×12(1+k2)3+4k2=627 ， 解得 k2=1 ，即直线 l 的斜率为 ±1 .

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