题目

AC为对称轴的抛物线的一部分，点B到边AC的距离为2km，另外两边AC，BC的长度分别为8km，2 km．现欲在此地块内建一形状为直角梯形DECF的科技园区． （1） 求此曲边三角形地块的面积； （2） 求科技园区面积的最大值． 答案： 解：以AC所在的直线为y轴，A为坐标原点，建立平面直角坐标系xOy，如图所示； 则A（0，0），C（0，8），设曲边AB所在的抛物线方程为y=ax2（a＞0），则点B（2，4a），又|BC|= (4a−8)2+22 =2 5 ，解得a=1或a=3（此时4a=12＞8，不合题意，舍去）；∴抛物线方程为y=x2，x∈[0，2]；又 ∫02 x2= 13 x3 |02 = 83 ，∴此曲边三角形ABC地块的面积为S梯形ACBM﹣ ∫02 x2= 12 ×（8+4）×2﹣ 83 = 283 ； 解：设点D（x，x2），则F（0，x2）， 直线BC的方程为：2x+y﹣8=0，∴E（x，8﹣2x），|DF|=x，|DE|=8﹣2x﹣x2，|CF|=8﹣x2，直角梯形CEDF的面积为S（x）= 12 x[（8﹣2x﹣x2）+（8﹣x2）]=﹣x3﹣x2+8x，x∈（0，2），求导得S′（x）=﹣3x2﹣2x+8，令S′（x）=0，解得x= 43 或x=﹣2（不合题意，舍去）；当x∈（0， 43 ）时，S（x）单调递增，x∈（ 43 ，2）时，S（x）单调递减，∴x= 43 时，S（x）取得最大值是S（ 43 ）=﹣ (43)3 ﹣ (43)2 +8× 43 = 17627 ；∴科技园区面积S的最大值为 17627 ．

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