题目

若一个四位数t的前两位数字相同且各位数字均不为0，则称这个数为“前介数”；若把这个数的个位数字放到前三位数字组成的数的前面组成一个新的四位数，则称这个新的四位数为“中介数”；记一个“前介数”t与它的“中介数”的差为P（t）.例如，5536前两位数字相同，所以5536为“前介数”；则6553就为它的“中介数”，P（5536）＝5536﹣6553＝-1017. （1） P（2215）＝，P（6655）＝ . （2） 求证：任意一个“前介数”t，P（t）一定能被9整除. （3） 若一个千位数字为2的“前介数”t能被6整除，它的“中介数”能被2整除，请求出满足条件的P（t）的最大值. 答案： 【1】-3006【2】990 证明：设“前介数”为 t=aabc¯ 且a、b、c均为不为0的整数，即1 ≤ a、b、c ≤9 ， ∴ t=1000a+100a+10b+c=1100a+10b+c ， 又 t 对应的“中介数”是 caab¯=1000c+100a+10a+b=1000c+110a+b ， ∴P（t）= aabc¯−caab¯=1100a+10b+c−(1000c+110a+b) =1100a+10b+c−1000c−110a−b =990a+9b−999c =9(110a+b−111c) ， ∵a、b、c均不为0的整数， ∴ 110a+b−111c 为整数， ∴P（t）一定能被9整除； 证明：设“前介数”为 t=22ab¯ 且即1 ≤ a、b ≤9 ，a、b均为不为0的整数， ∴ t=2000+200+10a+b=2200+10a+b ， ∵ t 能被6整除， ∴ t 能被2整除，也能被3整除， ∴ b 为偶数，且 2+2+a+b=a+b+4 能被3整除， 又1 ≤b≤9 ， ∴b只能取2，4，6，8中的其中一个数， 又 t 对应的“中介数”是 b22a¯=1000b+200+20+a=1000b+220+a ， 且该“中介数”能被2整除， ∴ a 为偶数， 又1 ≤a≤9 ， ∴a只能取2，4，6，8中的其中一个数， ∴P（t）= 22ab¯−b22a¯=2200+10a+b−(1000b+220+a) =2200+10a+b−1000b−220−a =1980+9a−999b ， 要求P（t）的最大值，即 a 要尽量的大， b 要尽量的小， ① a 的最大值为8， b 的最小值为2，但此时 a+b+4=14 ， 且14不能被3整除，不符合题意，舍去； ② a 的最大值为6， b 的最小值仍为2，但此时 a+b+4=12 ，能被3整除， 且P（t）=2262-2226=36； ③ a 的最大值仍为8， b 的最小值为4，但此时 a+b+4=16 ， 且16不能被3整除，不符合题意，舍去； 其他情况， a 减少， b 增大，则P（t）减少， ∴满足条件的P（t）的最大值是P（2262）=36.

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