题目

已知函数，其中为自然对数的底数. （1）若，求的单调区间；（2）当时，记的最小值为，求证：. 答案：【答案】(1) 函数的单调递减区间为，单调递增区间为．(2) 见解析.【解析】（Ⅰ）对函数求导，代入参数a的值，即可得到函数的单调区间；（Ⅱ）通过对函数求导研究函数的单调性得到，，由得：，构造函数，对函数求导可得到函数的最值.（Ⅰ）的定义域是， .当时，，因为函数，单调递增，且，所以：当时，，当时，，所以：函数的单调递减区间为：，单调递增区间为：；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得的定义域是，，令，则，在上单调递增，因为，所以，，故存在，使得，当时，，故，单调递减；当时，，故，单调递增；故时，取得最小值，即，由得：，令，，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，故，即时，取最大值1，故.

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