题目

如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm, BC＝12cm.点P从点C处出发以1cm/s向A匀速运动，同时点Q从B点出发以2cm/s向C点匀速移动，若一个点到达目的停止运动时，另一点也随之停止运动.运动时间为t秒；（1）用含有t的代数式表示BQ、CP的长；（2）写出t的取值范围；(3)用含有t的代数式 表示Rt△PCQ和四边形APQB的面积；(4)当P、Q处在什么位置时，四边形PQBA的面积最小，并求这个最小值． 答案：【答案】（1）CP=t，BQ=2t；(2) 0≤t≤4；(3) Rt△PCQ的面积为=t(6−t)， 四边形APQB的面积=24−t(6−t)； (4)CP=3cm,BQ=6cm时面积最小,最小为15cm2.【解析】试题分析：（1）有时间和速度，根据路程=时间×速度，即可得；（2）根据题意2AC＜BC，找到P点到达A的时间极为t的最大值，即可得出答案．（3）由∠C=90°，根据直角三角形的面积求法，可以直接的出Rt△PCQ的面积，有Rt△ABC的面积，两者之差即可得出答案．（4）根据（3）中的表达式，求其最小值即可．试题解析：（1）CP=t，BQ=2t， (2)∵点P从点C处出发以1cm/s向A匀速运动，同时点Q从B点出发以2cm/s向C点匀速移动，∴Q的速度是P的两倍，∵2AC<BC，∴可知P先到达A点，且t=4.∵若一个点到达目的停止运动时，另一点也随之停止运动，∴t的取值范围是：0≤t≤4；(3)由(1)得BQ=2t，CP=t，且BC=12cm，∴CQ=12−2t，∴Rt△PCQ的面积为12×CQ×CP=12×(12−2t)×t=t(6−t)， ∵Rt△ABC的面积为12×AC×BC=12×4×12=24，∴四边形APQB的面积=Rt△ABC的面积−Rt△PCQ的面积=24−t(6−t)；(4)由(3)得四边形APQB的面积为24−t(6−t)，变形为t2−6t+24=(t−3)2+15，根据二次函数的性质可知,当t=3时，取得最小值，解为15.即CP=3cm,BQ=6cm时面积最小,最小为15cm2.

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