题目

(本小题满分12分) 已知函数. (1)若,求函数的极值; (2)若对任意的,都有成立,求的取值范围. 答案:题: 方法1 1.解:(I),                  …………(2分) ,得,或,列表: 2 + 0 - 0 + 极大 极小 函数在处取得极大值,       …………(4分) 函数在处取得极小值;         …………(6分) (II)方法1:,时,, (i)当,即时, 时,,函数在是增函数 ,恒成立;                     …………(8分) (ii)当,即时, 时,,函数在是减函数 ,恒成立,不合题意              …………(10分) (iii)当,即时, 时,先取负,再取,最后取正,函数在先递减,再递增, 而,∴,不能恒成立; 综上,的取值范围是.                               …………(12分) 方法2:∵,∴ (i)当时,,而不恒为0, ∴函数是单调递增函数,,恒成立;…………(8分) (ii)当时,令, 设两根是, ∵,,∴ 当时,,是减函数, ∴,而,∴    …………(10分) 若,∵,,∴,不可能, 若,函数在是减函数,,也不可能, 综上,的取值范围是.                                 …………(12分) 方法3: (i)当,即时,函数在上为增函数, ,恒成立; (ii)当,即,或时, ①若,∵,∴ 在增函数,,恒成立;…………(8分) ②若,由,得  设,列表: + 0 - 0 + 极大 极小 ∵任意的,恒成立,而, ∴,或,                              …………(10分) 与矛盾, ,也与矛盾, 以上两式都与矛盾,对任意的,不能恒成立, 综上,的取值范围是.                               …………(12分)
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