题目

如图，在正方体中，点是底面的中心，是线段的上一点。（1）若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值； （2）能否存在点使得平面平面，若能，请指出点的位置关系，并加以证明；若不能，请说明理由。 答案：【答案】(1) (2)见证明【解析】（1）建立空间坐标系得到直线的方向向量和面的法向量，再由向量的夹角公式得到结果；（2）建立坐标系得到两个面的法向量，再由法向量互相垂直得到结果.不妨设正方体的棱长为2，以，，分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，.（1）因为点是的中点，所以点的坐标为.所以，，.设是平面的法向量，则，即.取，则，所以平面的一个法向量为.所以 .所以直线与平面所成角的正弦值为.（2）假设存在点使得平面平面，设.显然，.设是平面的法向量，则，即，取，则，，所以平面的一个法向量为.因为，所以点的坐标为.所以，.设是平面的法向量，则，即.取，则，所以平面的一个法向量为.因为平面平面，所以，即，，解得.所以的值为2.即当时，平面平面.

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