题目

如图所示，在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别是B1C1和C1D1的中点.（1）求证：B1D1∥平面CMN；（2）求点B1到平面CMN的距离. 答案：解法一：（1）证明：∵M、N为B1C1和C1D1的中点，∴MN∥B1D1.∵MN平面CMN，∴B1D1∥面CMN.（2）连结B1N、BM.设B1到CMN的距离为d.∵CC1⊥面B1MN，∴VB1—CMN=VC—B1MN .∴S△CMN·d=S△B1MN·CC1.∵MN B1D1,∴S△B1MN =S△B1C1D1=a2.∵CC1⊥C1M,∴CM=a.同理，CN=a,MN=a,连结CO1.∵O1为MN中点，∴CO1⊥MN.∴CO1=a.∴S△CMN=CO1·MN=a2.∴a2·a=a2·d.∴d=.解法二：（1）证明：以D为原点，建立空间直角坐标系.∴D1（0,0,a),B1(a,a,a),C1(0,a,a).∵M为B1C1中点，∴M（,a,a).同理，N（0,,a).∴=(-,-,0), =(a,a,0).∴=-.∴与共线.∴B1D1∥面CMN.（2）作B1在面CMN上的射影E，设E（x,y,z).∴B1E⊥面MNC.∴=(x-a,y-a,z-a).∴B1E⊥MN,B1E⊥CM.∵=(-,-,0), =(,0,a),∵E在CO1上，∴∥.∴∵O1（a,a,a),∴=(a, a,a).∴y=a.∴||=.

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