题目

在平面直角坐标系xOy中，将一块含30°角的直角三角板按如图①所示的方式放置，直角顶点与原点重合，若点A的坐标为 ， ∠ABO=30°. （1） 求AB 的长和BO的长； （2） 将图①所示的直角三角板绕点O顺时针旋转90°得到图②，在AB边的上方以AB为边作等边△ABC.问：是否存在这样的点D，使得以点A，B，C，D为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点D的所有可能的坐标；若不存在，请说明理由； （3） 在图②的基础上，过点O作OP⊥AB于点P得到图③.若点F是边OB的中点，点M是射线PF上的一个动点，当△OMB为直角三角形时，求OM的长. 答案： 解：∵AO=1，∠AOB=90°，∠OBA=30°， ∴AB=2AO=2， 由勾股定理得：BO=AB2−AO2=3； 存在，(0，−1)，(0，3)，(23，1) 解：点M是射线PF上的一个动点，当△OMB为直角三角形时，可以分以下几种情况进行讨论： ①当M在OB的上方，∠OMB=90°时，点M与点P重合，即OM=OP=12OB=32；  ②当M在OB的下方，∠OBM=90°时，  ∴PF=OF=FB=12OB=32，又∠OBP=30°，于是∠POB=60°， ∴△OPF为等边三角形，所以∠PFO=60°，于是在Rt△FBM中，FM=2FB=3， ∴BM=FM2−FB2=3−34=32，OM=OB2+BM2=3+34=212， ③当M在OB的下方，∠OMB=90°时，则FB=OF=FM=12OB=32， 又∵∠MFB=60°， ∴△FBM为等边三角形， ∴∠FBM=60°，∠BOM=30°， 于是BM=12OB=32，OM=OB2−BM2=3−34=32， ④当点M在OB的下方，∠BOM=90°时，显然不成立. 故综上所述，当△OMB为直角三角形时，OM的长为32或212或32.

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