题目

如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB上的一点，且∠A＝2∠DCB，点E是BC上的一点，以EC为直径的⊙O经过点D. (1)求证：AB是⊙O的切线； (2)若CD的弦心距为1，BE＝EO，求BD的长． 答案： (1)证明：如解图①，连接OD， 第7题解图① 则∠DOB＝2∠DCB， 又∵∠A＝2∠DCB， ∴∠A＝∠DOB， 又∵∠A＋∠B＝90°， ∴∠DOB＋∠B＝90°， ∴∠BDO＝90°， 即OD⊥AB， 又∵OD是⊙O的半径， ∴AB是⊙O的切线．        （2）解：如解图②，过点O作OM⊥CD于点M，连接DE，      第7题解图② ∵OD＝OE＝BE＝BO，∠BDO＝90°， ∴∠B＝30°， ∴∠DOB＝60°， ∴∠DCB＝30°， ∴OC＝2OM＝2， ∴OD＝2， ∴BD＝ODtan60°＝2.

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