题目

（本题满分12分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D作⊙O的切线，交BC于点E.【小题1】（1）求证：点E是边BC的中点；（4分）【小题2】（2）若EC=3，BD=，求⊙O的直径AC的长度；（4分）【小题3】（3）若以点O，D，E，C为顶点的四边形是正方形，试判断△ABC的形状，并说明理由. （4分） 答案：【小题1】（1）证明：连接DO，∵∠ACB=90°，AC为直径， ∴EC为⊙O的切线，又∵ED也为⊙O的切线， ∴EC=ED.    （2分）又∵∠EDO=90°， ∴∠BDE+∠ADO=90°，∴∠BDE+∠A=90°，又∵∠B+∠A=90° ∴∠BDE=∠B， ∴EB=ED.∴EB=EC，即点E是边BC的中点.   【小题2】（2）∵BC，BA分别是⊙O的切线和割线，∴BC2=BD·BA， ∴（2EC）2= BD·BA，即BA·=36，∴BA=，   （6分）在Rt△ABC中，由勾股定理得 AC===.【小题3】（3）△ABC是等腰直角三角形.   （9分）理由：∵四边形ODEC为正方形， ∴∠DOC=∠ACB=90°，即DO∥BC，又∵点E是边BC的中点， ∴BC=2OD=AC, ∴△ABC是等腰直角三角形.     （12分）解析:略

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