题目

已知函数 为奇函数． （1） 求 的值； （2） 判断函数 在 上的单调性，并证明． 答案： 解：根据题意， f(x)=x+ax2+1 为奇函数，则 f(−x)+f(x)=0 ， 即 (−x+ax2+1)+(x+ax2+1)=0 ，解可得 a=0 解：由（1）的结论， f(x)=xx2+1 ，在 (−1,1) 上为增函数； 证明：任取 x1 ， x2∈(−1，1) ，且 x1<x2 ， 则 f(x1)−f(x2)=x1x12+1−x2x22+1 =x1(x22+1)−x2(x12+1)(x12+1)(x22+1) x1x22+x1−x2x12−x2(x12+1)(x22+1)   =x1x2(x2−x1)−(x2−x1)(x12+1)(x22+1) =(x1x2−1)(x2−x1)(x12+1)(x22+1) ， 又由 x1 ， x2∈(−1，1) ，且 x1<x2 ，则 x1x2−1<0 ， x2−x1>0 ， x12+1>0 ， x22+1>0 则有 f(x1)−f(x2)<0 ， 所以函数 f(x) 在 (−1,1) 上单调递增

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