题目

计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水年入流量X(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米)都在40以上，其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立． (1)求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率． (2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系： 年入流量X 40<X<80 80≤X≤120 X>120 发电机最多 可运行台数 1 2 3 若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？ 答案：解：(1)依题意，p1＝P(40<X<80)＝＝0.2， p2＝P(80≤X≤120)＝＝0.7， p3＝P(X>120)＝＝0.1. 由二项分布得，在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为 p＝C(1－p3)4＋C(1－p3)3p3＝0.94＋4×0.93×0.1＝0.947 7. (2)记水电站年总利润为Y(单位：万元)． ①安装1台发电机的情形． 由于水库年入流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润Y＝5000，E(Y)＝5000×1＝5000. ②安装2台发电机的情形． 依题意，当40<X<80时，一台发电机运行，此时Y＝5000－800＝4200，因此P(Y＝4200)＝P(40<X<80)＝p1＝0.2；当X≥80时，两台发电机运行，此时Y＝5000×2＝10 000，因此P(Y＝10 000)＝P(X≥80)＝ p2＋p3＝0.8.由此得Y的分布列如下： Y 4200 10 000 P 0.2 0.8 所以，E(Y)＝4200×0.2＋10 000×0.8＝8840. ③安装3台发电机的情形． 依题意，当40<X<80时，一台发电机运行，此时Y＝5000－1600＝3400，因此P(Y＝3400)＝P(40<X<80)＝p1＝0.2；当80≤X≤120时，两台发电机运行，此时Y＝5000×2－800＝9200，因此P(Y＝9200)＝P(80≤X≤120)＝p2＝0.7；当X>120时，三台发电机运行，此时Y＝5000×3＝15 000，因此P(Y＝15 000)＝P(X>120)＝p3＝0.1.由此得Y的分布列如下： Y 3400 9200 15 000 P 0.2 0.7 0.1 所以，E(Y)＝3400×0.2＋9200×0.7＋15 000×0.1＝8620. 综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台．

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