题目

已知：y关于x的函数y＝(k－1)x2－2kx＋k＋2的图象与x轴有交点． (1)求k的取值范围； (2)若x1，x2是函数图象与x轴两个交点的横坐标，且满足(k－1)x12＋2kx2＋k＋2＝4x1x2． ①求k的值；②当k≤x≤k＋2时，请结合函数图象确定y的最大值和最大值． 答案：解：(1)当k＝1时，函数为一次函数y＝－2x＋3，其图象与x轴有一个交点． 当k≠1时，函数为二次函数，其图象与x轴有一个或两个交点， 令y＝0得(k－1)x2－2kx＋k＋2＝0． △＝(－2k)2－4(k－1)(k＋2)≥0，解得k≤2．即k≤2且k＝1． 综上所述，k的取值范围是k≤2． (2)①∵x1≠x2，由(1)知k＜2且k＝1． 由题意得(k－1)x12＋(k＋2)＝2kx1．(*) 将(*)代入(k－1)x12＋2kx2＋k＋2＝4x1x2中得： 2k(x1＋x2)＝4x1x2． 又∵x1＋x2＝，x1x2＝， ∴2k·＝4·． 解得：k1＝－1，k2＝2(不合题意，舍去)． ∴所求k值为－1． ②如图5，∵k1＝－1，y＝－2x2＋2x＋1＝－2(x－)2＋． 且－1≤x≤1． 由图象知：当x＝－1时，y最小＝－3；当x＝时，y最大＝ ∴y的最大值为，最小值为－3．

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