题目

已知抛物线 与直线 相交于 两点. （1） 求证： ； （2） 当S △OAB =时，求 的值. 答案： 证明：  由方程 y2=−x,y=k(x+1)消去 x 后，整理得 ky2+y−k=0,设 A(x1,y1) , B(x2,y2) ，由韦达定理 y1⋅y2=−1∵A,B 在抛物线 y2=−x 上，∴y12=−x1,y22=−x2,y12y22=x1x2∵kOA⋅kOB=y1x1⋅y2x2=y1y2x1x2=1y1y2=−1∴OA⊥OB 解：设直线与 x 轴交点为 N ，又显然 k≠0,∴ 令 y=0, 则 x=−1 ,即 N(−1,0)∵S△OAB=S△OAN+S△OBN=12|ON||y1|+12|ON||y2|=12|ON|⋅|y1−y2|∴S△OAB=12⋅1⋅(y1+y2)2−4y1y2=12(1k)2+4∵S△OAB=10∴10=121k2+4 ,解得 k=±16

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